[mandelbrot set] 망델브로 집합

 

https://youtu.be/LYyTLMyivUk?si=zy8KpL3jwl85ybfQ

 

 

 

 망델브로 집합을 실제로 그릴 때에는 점화식에 따라 zn을 계산하면서 수열이 발산하는지 그렇지 않은지를 대수적으로 검사하게 된다. zn의 절댓값이 2보다 크다면(즉, xn2+yn2>22이라면) zn은 발산한다고 말할 수 있으며, 이 때의 c는 망델브로 집합에 속해 있지 않는다. 이 때의 2라는 값은 발산하는 수열의 계산을 미리 막아 주는 역할을 하며, 경계값이라고 부른다. 반면 망델브로 집합 안에 속해 있는 점의 경우 zn은 발산하지 않으므로 무한히 계산해도 끝나지 않을 것이다. 이런 경우에는 적절한 n값 이후에 계산을 멈추어야만 한다. 무한히 계산하지 않는 한 우리는 이론적인 망델브로 집합이 아닌 이에 근사한 집합만 얻을 수밖에 없다.

 

#  카오스처럼 보이는 난수의 집합이 일정한 주기를 갖는다. 이러한 수의 집합을 망델브로 집합이라 한다. 

 

Formula : Zn+1 = Zn^2 + C

# C = 1 

Zn+1 = Zn^2 + C 
1 = 0 + 1
2 = 1^2 + 1
5 = 2^2 + 1
26 = 5^2 + 1
.
.
.
.
 
## 발산 

# C = -1 

Zn+1 = Zn^2 + C 
-1 = 0 -1
0 = -1^2 -1
-1 = 0^2 -1
0 = -1^2 -1
.
.
## 0, -1 반복

 

 

Python 구현 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def mandelbrot(c, max_iter):
    z = 0
    n = 0
    while abs(z) <= 2 and n < max_iter:
        z = z**2 + c
        n += 1
    if n == max_iter:
        return max_iter
    return n + 1 - np.log(np.log2(abs(z)))

def mandelbrot_set(width, height, x_min, x_max, y_min, y_max, max_iter):
    x, y = np.meshgrid(np.linspace(x_min, x_max, width), np.linspace(y_min, y_max, height))
    c = x + 1j * y
    mandelbrot_image = np.vectorize(mandelbrot)(c, max_iter)
    return mandelbrot_image

def plot_mandelbrot(width, height, x_min, x_max, y_min, y_max, max_iter):
    mandelbrot_image = mandelbrot_set(width, height, x_min, x_max, y_min, y_max, max_iter)
    plt.imshow(mandelbrot_image, extent=(x_min, x_max, y_min, y_max), cmap='hot', interpolation='bilinear')
    plt.colorbar()
    plt.title('Mandelbrot Set')
    
    plt.show()

# 매개변수 설정
width, height = 800, 800
x_min, x_max = -2, 1
y_min, y_max = -1.5, 1.5
max_iter = 100

# 맨들브로 집합 그리기
plot_mandelbrot(width, height, x_min, x_max, y_min, y_max, max_iter)